素数在整数整环中还是素的吗？

我的提问：

一个整环$R$中的元素$p$是素的，如果$p$不是零或者一个单元，并且$p|ab$意味着$p|a$或者$p|b$（等价的$ab\in Rp$意味着$a \in Rp$或者$b\in Rp$）。一个整环$R$的元素$q$是不可约的，当$q$不是零或者一个单元，并且$q = ab$意味着$a$或$b$是一个单元。

那么素数在整数整环中是素的吗？然后素数都是不可约的吗？

回答1：这两个问题的都是对的。根据基础数论的事实，$\pm 1$是唯一可逆的整数，除$\pm 1$以外的整数可以唯一地表示为不同素数的乘积加上$\pm$，每个素数的幂都是正整数，这两个结果都很容易得到。

回答2：素数在整数整环中既是素的，也是不可约的。

根据定义，它们就是不可约的。

为了证明它们是素的，请回顾一下欧几里得算法，该算法用于找到两个整数的GCD（并同时证明任意两个整数都有一个在等价意义下唯一的GCD，其中并不涉及素数的分解）。根据欧几里德算法可以得出，如果$d=\gcd(a,b)$对两个整数$a,b\in\mathbb Z$，则存在整数$u,v\in\mathbb Z$使得$d=ua+vb$。（贝祖特性。）

现在，想象$p$是普通意义上的一个质数，意味着它是不可约的。假设$p|ab$，然后令$d=\gcd(p,a)$，$d=up+va$。因为$d|p$，（从不可约性）可以得出，要么$d$是单元，要么$d$等价于$p$，因此我们能将$d,u,v$与一个单元相乘，将其缩减到到$d=1$或者$d=p$的情况。

• 如果$d=1$，那么$1=up+va$，即$b=upb+vab$并且右侧可被$p$整除，所以$p|b$。
• 如果$d=p$，其中$d=\gcd(p,a)|a$，于是我们有$p|a$。

在一个一般的整环$R$中，素就意味着不可约。相反的蕴含关系是有效的每当$R$是一个欧几里得整环（即它在某种意义上允许欧几里德算法），或者如果它是一个主理想整环（即每个理想都是主的——由单个元素生成），或者它是一个贝祖整环（即每两个主理想之和是一个主理想）——证明与$\mathbb{Z}$的情形是相同的。

原文地址：Are the prime numbers prime in the domain of integers?