望月新一与他天书般的论文，展现了纯数学与我们的距离

导语：一位日本数学家声称已经解决了数学领域最重要的问题之一。但是，几乎无人能懂他的证明，无从判断对错。

2012年8月30日的早晨，望月新一悄悄地在自己的网站上发布了4篇论文，总计长达500多页，密密麻麻地布满了各种符号。它们是作者孤独工作了十多年后的成果，可能会在学术界引起爆炸性的影响。在文中，望月新一声称解决了abc猜想——一个27年来在数论领域一直悬而未决的问题，令所有其他数学家都束手无策。如果望月新一的证明是正确的，它将是本世纪最令人震撼的数学成果之一，或将彻底改变整数方程的研究。

David Parkins

不过，望月新一本人并未对自己的证明大做文章。他任职于日本京都大学数理解析研究所（RIMS），是一位令人尊敬的数学家。他没有向全世界的同行宣布自己的研究成果，只是将论文发布在网上，等待世界去发现。

第一个注意到他的论文的可能是玉川安骑男（Akio Tamagawa）——望月新一在RIMS的同事。和其他研究人员一样，玉川安骑男知道望月新一多年来一直在潜心钻研abc猜想，并且已近成功。当天，玉川安骑男通过电子邮件把这个消息发给了他的合作者之一、诺丁汉大学数论理论家Ivan Fesenko。Fesenko立即将论文下载下来，开始阅读。但是很快他就“如坠云雾”之中。他说：“简直不可能理解那些论文。”

Fesenko给望月新一所在算术几何领域的几位顶级专家发了邮件，有关该证明的消息迅速传开。没过几天，数学博客和在线论坛开始热烈地讨论起来。但是对于许多研究人员来说，最初的兴奋很快变成怀疑。所有人，甚至那些和望月新一专业领域最为接近的人，也像Fesenko一样感到困惑不已。

为了完成证明，望月新一开创了一个新的学科分支——一个即使按照纯数学标准来看也极其抽象的分支。在论文公开几天后，威斯康星大学麦迪逊分校的数论理论家Jordan Ellenberg在自己的博客上写道，“你会感觉自己好像是在看一篇来自未来或外太空的论文。”

3年过去了，望月新一的证明依然是一个数学谜团，既没有被驳斥，也没有被广泛接受。据望月新一估计，一名数学专业研究生大约需要十年时间才能理解他的研究，Fesenko则认为即使是一名算术几何专家，可能也需要500个小时才能弄懂。到目前为止，只有4名数学家表示他们能够读懂全部证明。

望月新一本人也为他的证明平添了几分神秘色彩。虽然他可以说一口流利的英语，但是截至目前他只在日本用日语谈论了自己的研究，而且拒绝了到其它地方发表演讲的邀请。他不接受记者采访；多个采访请求都没有得到回应。他会回复其他数学家的电子邮件，也不拒同事来访，但是他仅有的公开信息就是他个人网站上零零碎碎的一些内容。

2014年12月，他写道，若要理解他的研究，“研究人员需要摒弃他们维持多年的旧有的思维模式”。在比利时安特卫普大学的数学家Lieven Le Bruyn看来，望月新一的这种态度显得目中无人。今年早些时候，他在博客上写道，“是不是只有我一人觉得望月新一是在藐视整个数学界”。

现在，数学界正在尝试解开这个问题。2015年12月，亚洲以外首个有关望月新一证明的研讨会在英国牛津举行。望月新一不会亲身到场，但是据说他愿意通过Skype回答研讨会上提出的问题。组织者希望这次讨论能够激发更多数学家花时间去熟悉望月新一的观点——希望改变对望月新一的态度。

望月新一在其最新的验证报告中写道，他的理论之于算术几何“恰似纯数学之于人类社会”。他在向数学界传达自己的抽象研究时遇到困难，而数学家群体在向数学界以外的广大群体传达其研究成果时也常常面临挑战，二者何其相似！

核心所在

abc猜想涉及a + b = c型的数值表达式。它存在几个略有不同的版本，关系到能除尽a、b和c的质数。每一个整数都能以独一无二的形式表示为一连串质数的乘积；例如15 = 3 × 5，或84 = 2 × 2 × 3 × 7。原则上，a和b的质因数与二者之和c的质因数没有关联。但是，abc猜想将它们联系了起来。abc猜想的假设大致而言指，如果大量小质数能除尽a和b，那么只有少量大质数能除尽c。

1985年，法国数学家Joseph Oesterlé在德国的一次演讲中，无意间谈到一类特别的方程式，首次提出来这种可能性。当时的观众席中坐着目前在瑞士巴塞尔大学任职的数论理论家David Masser，他意识到这个猜想的潜在重要意义，之后以一般形式将其公之于众。现在，这个猜想被归功于他们二人，并且常常被称为Oesterlé–Masser猜想。

几年后，哈佛大学的一位数学家Noam Elkies意识到，如果abc猜想是真的，那么将对丢番图方程的研究产生深刻影响。

他发现如果abc猜想得到证明，那么将一举解决大量著名的未解丢番图方程。因为，它可以给方程解的大小做出明确限制。例如，abc猜想或许可以表明丢番图方程的所有解都必须小于100。为了找到正解，人们所要做的就是代入0到99之间的每一个数字进行验证。而没有abc猜想的话，就需要代入无限多的数字。

Elkies的研究意味着abc猜想可能超越丢番图方程史上最重要的突破：证实美国数学家Louis Mordell在1922年提出一个假设——大部分丢番图方程要么无解，要么只有有限数量的解。1983年，时年28岁的德国数学家Gerd Faltings证明了该猜想，三年后因此获得了数学界人士梦寐以求的菲尔兹奖。但是Faltings说，如果abc猜想被证实，你不仅知道有多少解，“还可以直接将它们全部列出来”。

Faltings在证明Mordell猜想后不久，便开始在普林斯顿大学任教，很快他的轨迹就和望月新一的产生了交叉。

1969年，望月新一出生于东京，在他小时候一家人就搬到了美国，他在那里长大。他上了新罕布什尔的一所精英高中，早早地就展露出过人的天赋，不到16岁就成为普林斯顿大学数学系的一名本科生。很快，富有创造性的思维令他成为一个传奇，他开始直接攻读博士。

认识望月新一的人都说他具有超自然的全神贯注的能力。“从他还是学生的时候起，每天从早到晚都在学习。”牛津大学数学家金明迥说，他在普林斯顿大学认识了望月新一。金明迥记得以前在参加完一场研讨会或专题会后，研究人员和学生一般会一起出去喝几杯，但是望月新一不会去。“他并不是天生内向的人，只是全身心地投入到了数学研究中。”

Faltings是望月新一本科毕业论文和博士论文的导师，他看到了望月新一的过人之处。“很明显他天资聪颖。”他说。但是，做Faltings的学生并不是一件容易的事。“Faltings是最令学生生畏的一位老师。”金明迥回忆道。他能敏锐地发现错误，即使是知名的数学家，在和他交谈的时候，也常常会感到无所适从。

Faltings的研究对美国东海岸大学里面的许多年轻数学家具有非常大的影响。他的专业领域是代数几何，从20世纪50年代起，因为Alexander Grothendieck——20世纪最伟大的数学家，代数几何转变成一个高度抽象且理论性的领域。“与Grothendieck相比，”金明迥说，“Faltings没有太多耐心去从哲学角度思考数学。”他的数学风格表现为需要“大量的抽象背景知识，但是同时也以解决实际问题为目标。望月新一关于abc猜想的证明正好符合这一点”。

心无旁骛

博士毕业后，望月新一在哈佛待了两年，然后在1994年他25岁的时候回到了出生地日本，加入RIMS。金明迥说，虽然望月新一在美国生活了多年，但是“他在某些方面并不适应美国文化”。不仅如此，在异国长大可能加重了他作为少年数学天才的孤独感。“我认为他确实受了一些苦。”

RIMS不要求它的职员给本科生授课，望月新一在此如鱼得水。“在20年的时间里，他可以不受外界过多干扰，一心一意地开展自己的研究。”Fesenko说。1996年，望月新一因为解决了Grothendieck提出的一个猜想而在国际上声名鹊起；1998年，他受邀在柏林国际数学家大会上发言，名气更胜从前。

虽然备受推崇，但是望月新一却逐渐淡出主流视野。他的研究越来越抽象，同行们越来越难理解他的论文。从21世纪的头几年开始，他不再参加国际会议，同事们说他几乎没有再离开过京都。“连续多年不靠别人，一个人专心致志做研究需要投入非同一般的热情。”斯坦福大学数论理论家Brian Conrad说。

不过，望月新一实际上还是和数论同行专家们保持着联系，他们知道他的最终目标是abc猜想。他几乎没有竞争对手：大部分数学家都认为这个问题非常棘手，基本都敬而远之。2012年初，关于望月新一快要完成证明的消息传开了。然后就出现了8月的新闻：他把论文发在了网上。

9月，Fesenko成为日本之外第一个与望月新一谈论其默默公开的这项研究成果的人。Fesenko本来是要拜访玉川安骑男，顺道也见了望月新一。二人在一个周六见面了，地点在望月新一的办公室。里面很宽敞，书籍论文都摆放得井井有条，从办公室望出去，可以看到附近的大文字山。Fesenko说那是他“一生中见过的最整洁的数学家办公室”。两人在皮沙发上坐下后，Fesenko开始询问有关望月新一研究成果的各种问题，并讨论后续可能发生的情况。

Fesenko说他提醒望月新一要以俄罗斯数学家、拓扑学家Grigori Perelman（格里戈里·佩雷尔曼）为戒：2003年，Perelman解决了世纪难题庞加莱猜想，一举成名，但是之后他逐渐退隐，日渐疏远朋友、同事和外界。Fesenko认识Perelman，认为Perelman和望月新一的性格迥然不同。众所周知，Perelman社交能力很差（而且不修边幅），但望月新一在众人眼里却是一个擅长表达且待人友好的人，只不过对工作以外的生活非常保密。

正常来说，一项重大证明公开后，数学家会拿来阅读——一般只有几页——而且可以理解其整体论证方法。偶尔会有些证明更长一点、更复杂一点，前沿专家可能需要花上好几年的时间才能对其进行充分评估，判断它是否正确。Perelman关于庞加莱猜想的研究就是这样被接受的。即使是像Grothendieck的那样高度抽象的研究，专家们也能够将其大部分的新观点与自己所熟悉的数学对象联系起来。只有当所有疑惑都已廓清，期刊才会将证明发表出来。

但是，几乎每一个研究望月新一证明的人，最后都发现自己一头雾水。有些人感到茫然无措：望月新一在描述他的一些新的理论说明时，使用的语言近乎天书：他甚至将他创造的新领域称为“宇宙际几何”。“一般而言，数学家都是非常谦逊的，不会声称自己所做的是一场关系全宇宙的革命。”巴黎第六大学的Oesterlé说。他在验证望月新一的证明，但是没有取得什么进展。

因为望月新一的证明明显脱离了过去已有的东西。望月新一尝试从数学的集合论基础（许多人所熟知的维恩图）入手，彻底革新数学。一直以来，大部分数学家都不愿意花费时间去理解他的研究，因为他们看不到什么明显回报：很难看出望月新一创建的新理论可以用于计算。“我试着看了一些内容，之后放弃了。我看不懂他的研究。”Faltings说。

2014年，Fesenko对望月新一的工作进行了详细的研究，并于当年秋天再次去RIMS拜访了望月新一。他说他已经证实了望月新一的证明。（另外三名表示已经证实该证明的数学家也在日本和望月新一一起工作了很长时间。）

按照Fesenko的说法，宇宙际几何的核心要义是用全新的眼光看待整数——暂不考虑加法，将乘法结构看成一种可延展可变形的结构。这样一来，标准乘法就只是结构家族中的一个特例，就像圆形是椭圆的一个特例一样。Fesenko说望月新一自比为数学大师Grothendieck——这并不过分。“过去，我们有的是望月新一之前的数学；现在，我们有的是望月新一之后的数学。”Fesenko说。

但是到目前为止，寥寥几个能够理解望月新一研究的人却很难向他人解释。“每一个尝试这么做的人我都认识，他们非常睿智，但每次眼见着快要成功了，却都无疾而终。”一位不愿具名的数学家说。他说这种情况让他想起了英国喜剧团巨蟒组（Monty Python）的一个故事，一位作家写出了全世界最好笑的笑话。每一个读过的人都笑得丢了性命，因此无法将笑话讲给别人听。

Faltings认为这就是问题所在。“你有好的想法还不够：你还要能够向别人解释清楚。”他说如果望月新一想要他的工作能够被人接受，就应该与人进行更多的沟通。“一个人有权利我行我素。”他说，“如果他不想传播自己的理论，他就没什么义务。但如果他希望被认可，就必须做出妥协。”

结局不定

对于望月新一而言，或许会很快迎来一些转机，美国克雷数学研究所将在牛津举办一场万众期待的研讨会，预计包括Faltings在内的一众业内重要人物都将出席。金明迥和Fesenko是会议的组织者，他说几天的演讲不足以阐明全部理论。但是，“希望在会议结束后，有相当一部分人能够愿意投入更多精力来研究这个证明”。

大部分数学家都预计还需要很多年才能得出确定结论。（望月新一说他已经把论文投给期刊了，大概仍在评审中。）研究人员希望有一天能够有一个人不仅自己懂，还能解释出来让别人懂。问题是，很少有人愿意成为这样的人。

展望未来，研究人员认为未来的未解问题可能不再会像这样复杂棘手。Ellenberg指出，在新的数学领域，定理的陈述一般都是简单的，而且证明非常简短。

现在的问题是望月新一的证明是否会像Perelman的那样被接受，还是走向另一种结局。一些研究人员以普渡大学著名的数学家Louis de Branges为例，提醒应该保持谨慎态度。2004年，de Branges声称证明了黎曼猜想——许多人视之为数学领域最重要的一个未解问题。但是，其他数学家对此表示怀疑；许多人说de Branges的理论不符合传统，而且写作风格怪异，他们没有兴趣细究；很快该证明便从人们的视线中消失。

Ellenberg认为对于望月新一的研究，“不能用一刀切的方式来评价”。即使他关于abc猜想的证明不正确，他的方法和理念仍有可能渗透进数学界，并有可能在其它某些方面发挥作用。“根据我对望月新一的了解，我真的认为他的论文里面极有可能隐藏着某种精彩或重要的数学内容。”Ellenberg说。

不过他也补充表示不排除结局走向相反的方向。“我认为如果我们简单地把它遗忘了，那将是一件不幸的事。令人悲哀。”ⓝ

Nature|doi:10.1038/526178a

原文发布在2015年10月7日的《自然》新闻专题上

原文作者：Davide Castelvecchi

本文转自 https://zhuanlan.zhihu.com/p/43348594 。点击右边标题阅读英文原文：The biggest mystery in mathematics: Shinichi Mochizuki and the impenetrable proof