是否存在人类大脑永远无法理解的数学结构？

是否存在人类大脑永远无法理解的数学结构？答案是存在也不存在。这个问题重点在于“理解”这个词，怎么样才算是理解？本文中，我们就将理解分为直观理解和抽象理解吧。所谓直观理解，指的是能够通过五官直接感受到。

基于这个定义，数学从线性代数中最基础的n维线性空间开始，就不是人脑能够直观理解的了，毕竟人脑只能理解四维以下的空间，即只能理解三维的空间，不能理解处在第四维度的时间。到目前为止，四维时空是否存在都还存在争议，因为并没有直接证据表明四维时空真实存在。因此，从物理世界来看，人脑从四维线性空间开始就无法直观理解了。

抛开四维空间是否真实存在的物理争议，考虑纯粹数学上的定义，四维空间是存在的。那么有可能通过作图的方式来直观理解高维空间呢？不能。那些所谓画出四维及以上空间的图，其实是通过投影等方法实现降维，将高维空间的东西通过三维的形式表现出来，并不是真正的高维空间。

既然存在那么多大脑无法理解的数学结构，这时数学就派上用场了。数学正是人类用于理解人脑无法直观理解的工具，因为人脑有个很强大的功能——抽象化，既然你无法想象、也无法理解，那干脆就将它抽象化为一个数学对象来研究，即抽象理解。人类对于高维空间的理解都是抽象化的，看不见摸不着，只存在于精神世界中。这里又引申出两个有争议的问题

• 人脑是否就是一个宇宙？因为人脑里面的结构，跟大尺度下宇宙网的结构十分相似。
• 人脑是否其实能理解高维空间？但是它可能不通过五官来理解，这就解释了所谓的第六感。

本文不过多讨论这两个问题。抽象化和公理化，是数学中的强力武器，数学大厦的建成他们功不可没，现代数学就是从无数的抽象化，然后公理化的过程中诞生的（见数学的发展实际上是一个不断抽象的过程）。在数学中，抽象且无法直观体现的概念无处不在，尤其是在代数几何，任何数学对象都是高度抽象化的，很多数学结构甚至找不到具体的例子。但这不影响数学家们理解它，因此大脑是可以抽象理解几乎任何东西的，直观理解不了，就抽象理解。

这里我说的是抽象理解“几乎任何东西”，多了个几乎，为什么不是所有？因为从这里开始，就引申出了一个有争论的哲学问题：宇宙中所有东西都能被数学所描述、解释吗？

这个问题在之前的一篇文章 数学与物理公式可以精准简洁地描述自然现象，究竟是世界本就如此巧妙，还是科学家努力简化后的结果？中曾经讨论过。

如果能，那么人脑无法“理解”的数学结构，其实就是人没弄懂或还未发现的数学结构。比如说有外星人将未来数千年后的数学给人类看，那自然无人能够理解。就好比古代人类无法理解现代数学一个道理。但是如果外星人的数学发展水平与人类相似，那么即便语言不同，理论上人是可以理解他们的数学的。

如果数学并不能描述宇宙中的所有事物，那么哪怕人脑可以理解所有的数学结构，也不可能理解宇宙中的所有结构和规律。这也就意味着包括爱因斯坦在内，许多著名物理学们的信仰崩塌，并且这样的信仰崩塌在数学中也会出现，结果就相当于数学危机+物理危机了。因为所有东西都能数学化，所有好的数学都应该是简洁而美妙，等等这些思想和理念，早就渗透到数学与物理的方方面面，这也是无数人喜欢数学或者物理的原因之一。

不过也不必过于悲观，说不定到那时候会发现一个叫做“超数学”的新学科，即数学的超集（$\textrm{数学}\subseteq \textrm{超数学}$）。这样所谓东西又能被超数学所解释了，有点套娃那味了。。又或者是数学会继续迎来一次像集合论那样，底层的革新，于是产生无数全新的分支，用于重新解释宇宙。